맥스웰 방정식과 동차 벡터 파동 방정식

맥스웰 방정식은 전자기학의 기본 바탕이며, 필자가 다루는 마이크로파 분야에서도 중요하게 쓰인다. 기초를 보강하기 위해 연구노트에 제일 먼저 기록하기로 결심했다.

벡터장에서 발산과 회전의 델 연산자 표현을 기억하자.

맥스웰 방정식은 크게 네 종류로 분류할 수 있다.
1. Gauss 법칙, 2. Gauss 자기장 법칙, 3. Faraday 법칙, 4. Ampère 법칙.

 

1. Gauss 법칙

$\large\nabla\cdot\mathrm{\textbf{D}}=\rho_{v}$
D는 전속밀도 벡터(electric flux density). 단위 면적당 통과하는 전하의 양이다. ρ는 단위 부피당 전하량(volume charge density).

Gauss 법칙의 수식은 어느 한 지점에서의 전속밀도 D의 발산이 해당 지점의 전하량 ρ와 같다는 것을 보여준다.
이는 전기장의 근원이 전하라는 결론으로 귀결된다.

만약 그 '한 지점'을 전하가 아닌 빈 공간으로 잡는다면 어떨까? 주변에 전하가 있든 말든 발산은 무조건 0이 될 것이다. 결국 들어오는 전속과 나가는 전속의 양이 같기 때문이다.

 

2. Gauss 자기장 법칙

$\large\nabla\cdot\mathrm{\textbf{B}}=0$
B는 자속밀도 벡터(magnetic flux density). 단위 면적당 통과하는 자기력선의 양이다.

Gauss 자기장 법칙의 수식은 자속밀도 B의 발산이 어느 지점에서든 항상 0이며, 시작점이나 끝점이 없는 닫힌 고리라는 것을 보여준다.
이는 단일 자성을 지니는 고립된 자기 홀극(magnetic monopole)이 없다는 결론으로 귀결된다.

물론 자기 홀극의 존재를 증명하려는 시도가 없었던 것은 아니지만, 적어도 2026년 현재 자기 홀극은 발견되지 않았다.

 

3. Faraday 법칙

$\large\nabla \times \textbf{E}=-\frac{\partial \textbf{B}}{\partial t}$
우측 항을 먼저 읽는다. 자속밀도 B가 시간적으로 변하면, 그것이 회전하는 전기장 E를 형성한다는 의미를 가진다.

유의할 점은 우측 항에 붙은 마이너스(-) 기호. 렌츠의 법칙에 의해 전기장은 자기장의 변화를 저지하는 방향으로 유도된다.
이는 에너지 보존 법칙 면에서도 타당하다. 만약 전기장이 자기장의 변화를 돕는 방향으로 형성된다면 무한 동력이나 다름없지 않은가? 상식적으로 방해하는 편이 옳다고 볼 수 있다.

부호가 반대되기 때문에 앞뒤로 진동하여 전자기파가 파동처럼 작동한다는 점도 간과해서는 안 되는 요소이다.

 

4. Ampère 법칙

$\large\nabla \times \textbf{H}=\textbf{J}+\frac{\partial \textbf{D}}{\partial t}$
이 법칙 혼자 우측 항이 2개라 이해가 까다로울 수 있는데, 분리해서 해석한다.
1. 흐르는 전류밀도 J가 있거나 (전도전류) 2. 전속밀도 D가 시간적으로 변하면 (변위전류) 회전하는 자기장 H가 형성된다는 의미를 가진다.

이번에는 우측 항에 마이너스(-) 기호가 붙지 않는다. 자기장은 도체 등에 흐르는 전류 혹은 전기장이 변화하는 방향을 따라 유도되며, 이 덕분에 전자기파가 형성될 수 있다.

 

응용. 파동 방정식

이 법칙들을 가지고 무엇을 할 수 있는가?

파동 방정식. Faraday 법칙과 Ampère 법칙을 통해 전기장과 자기장이 서로 상호작용하며 파동의 형태로 퍼져 나가는 방식을 서술할 수 있다.

$\textbf{D}=\epsilon \textbf{E}$
$\textbf{B}=\mu \textbf{H}$
전속밀도 D와 전기장 E의 관계. 그리고 자속밀도 B와 자기장 H의 관계를 떠올리자. 유전율 ϵ과 투자율 μ은 매질이 고유하게 가지는 특성이다.

$\nabla \times \textbf{E}=-\frac{\partial \textbf{B}}{\partial t}$
$\nabla \times \textbf{H}=\textbf{J}+\frac{\partial \textbf{D}}{\partial t}$
무원천, 무손실, 균질한 자유 공간을 가정하자. (전류밀도 J 없음)
전속밀도 D와 전기장 E의 관계를 Faraday 법칙과 Ampère 법칙에 적용한다면...

$\nabla \times \textbf{E}=-\mu\frac{\partial \textbf{H}}{\partial t}$
$\nabla \times \textbf{H}=\varepsilon\frac{\partial \textbf{E}}{\partial t}$
다음과 같은 형태가 된다.

$\nabla \times \nabla \times \textbf{E}=-\mu\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \textbf{H})=-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \textbf{E}}{\partial t^2}$
이제 Faraday 법칙에 회전을 적용하면 Ampère 법칙을 가져올 수 있게 된다.

$\nabla\cdot\mathrm{\textbf{E}}=0$
한편 Gauss 법칙에 의하면 해당 조건에서 전하량도 없고 균질한 매질이므로 전기장의 발산이 0이 된다.

$\nabla \times \nabla \times \textbf{E}=\nabla(\nabla\cdot \textbf{E})-\nabla^2\textbf{E}=-\nabla^2\textbf{E}$
$-\nabla^2\textbf{E}=-\mu\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \textbf{H})=-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \textbf{E}}{\partial t^2}$

결국 최종적인 파동 방정식의 형태는...

$\large\nabla^2\textbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \textbf{E}}{\partial t^2}=0$

$\large\nabla^2\textbf{H}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \textbf{H}}{\partial t^2}=0$

이와 비슷하게 유도하면 자기장 H에 관한 파동 방정식도 기술이 가능하다.

...어디서 많이 본 형태가 있지 않은가?

$\large c=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$

빛의 속도 c.
전기장과 자기장이 서로를 유도하며 나아가는 것이 전자기파이며, 빛은 전자기파의 종류이다. 

본문에서 다룬 파동 방정식은 동차 벡터 파동 방정식(homogeneous vector wave equation)에 해당한다. 중요한 건 해당 식이 무손실, 무원천, 균질의 자유 공간을 바탕으로 했다는 것이다. 실제로는 파동 방정식에 매질의 특성과 같은 제약이 걸리며, 손실이나 공간적 불균형 등의 요소를 고려해야만 한다.

 

[참고]
David K. Cheng. Fundamentals of Engineering Electromagnetics.